Sus padres eran Fermín y Tadea Rodríguez. Pese a tener el mismo apellido, no eran hermanos. El joven Martín cursó sus estudios en el Real Colegio de San Carlos, en la capital del Virreinato del Río de la Plata. Más tarde revistó como segundo de Juan Martín de Pueyrredón, en el régimen de Húsares que combatió en las invasiones inglesas. Cuatro años después fue un activo integrante del movimiento que culminó en los hechos del 25 de mayo de 1810.

Durante la asomada del 5 y 6 de abril de 1811 tomó partido por Cornelio Judas Tadeo Saavedra. Después participó en importantes batallas, como la de Salta, la de Vuelta y Media y la de Sipe Sipe. Estas últimas fueron dos derrotas por las cuáles debió dar explicaciones durante un largo tiempo. En 1820 participó de la famosa batalla de Cepeda, cuya consecuencia fue la caída del poder central y la Anarquía del año XX.

Ese mismo año le tocó asumir el cargo de gobernador de Buenos Aires en un momento de gran inestabilidad política. Fue nombrado por la Junta de Representantes bonaerenses el 26 de septiembre. A pesar del momento crítico en que llegó, su gestión se destacó por la implementación de reformas significativas que buscaban modernizar la provincia y fortalecer sus instituciones.

Esa fue la llamada "Feliz Experiencia Rivadaviana", un período de progreso y transformación impulsado por su ministro de Gobierno, Bernardino de la Trinidad González Rivadavia. Durante su gestión Rodríguez fue el poder formal, Rivadavia fue el poder real.

Rivadavia implementó una serie de reformas que dejaron una marca indeleble en la historia de Buenos Aires. Algunas de ellas fueron la creación del Archivo General, la fundación de la Bolsa de Comercio, la creación de la Sociedad de Beneficencia, se reorganizó la administración de correos, se promulgaron leyes de reforma de la policía y se estableció escuelas en pueblos de frontera y fortines.

En el plano religioso se abolió el diezmo y se le quitaron tierras a la Iglesia Católica. En el plano educativo se implantó la educación básica gratuita y se crearon el Colegio de Ciencias Morales y la Universidad de Buenos Aires.

En esa época Buenos Aires asumió el control total del puerto y la aduana. Se produjo un fuerte ajuste para hacer que la administración pública sea más dinámica y se adoptó la elaboración anual del presupuesto, para ordenar el gasto público.

Para fomentar el crédito se fundó el actual Banco Provincia. Pero no todo fue tan ordenado. Por esos días el país contrajo la primera deuda externa, el famoso empréstito con la Baring Brothers por un millón de libras esterlinas.

Mientras Rivadavia y el ministro de Hacienda Manuel José García endeudaban a la provincia, el gobernador Rodríguez se fue a la frontera a combatir a los indios, luego de dos años de paz. En 1822 se registraron ataques indígenas en Chadcomús, Dolores y Pergamino. Estos hechos decidieron al gobernador a ponerse al frente de la represión. En medio dd esta gesta, el 4 de abril de 1823, tuvo lugar la fundación de la ciudad de Tandil.

Rodríguez entregó la gobernación en 1824. Fue sucedido por Juan Gregorio Las Heras. Al año siguiente colaboró en la Cruzada Libertadora de los Treinta y Tres Orientales. En 1828 se sumó al movimiento de Juan Lavalle contra Manuel Dorrego. Entre mayo y junio de 1829 fue gobernador interino de la provincia de Buenos Aires. El 10 de junio de 1829 designó a Luis Vernet en el cargo de comandante militar y político de las Islas Malvinas.

En 1830 se estableció en Montevideo. Quiso volver a involucrarse en la política rioplatense, pero su salud deteriorada no se lo permitió. Pasó sus últimos años entre la pobreza y el ostracismo. Murió en Uruguay el 5 de marzo de 1845.